Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Partie A :
1)
AS=BM=4-x
Dans le triangle SAM rectangle en A , Pythagore :
MS²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16
2)
Dans le triangle MBR rectangle en B , Pythagore :
MR²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16
3)
a)
RH=4 et SH=4-AS-HD
AS=4-x et HD=RC=4-x
donc : SH=4-(4-x)-(4-x)=4-4+x-4+x=2x-4
b)
Le triangle SHR est rectangle en H.
c)
Pythagore dans SHR rectangle en H :
SR²=SH²+RH²
SR²=(2x-4)²+4²=4x²-16x+16+16
SR²=4x²-16x+32
4)
D'autre part d'après 1) et 2) :
MS²+MR²=2x²-8x+16+2x²-8x+16=4x²-16x+32
Donc :
SR²=MS²+MR² , ce qui prouve d'après la réciproque du th. de Pythagore que le triangle SMR est rectangle en M donc que :
(MS) ⊥ (MR)
Partie B :
1)
(DC) ⊥ (DA)
Et on considère que DC=DA= 1 unité ( et non 4 cm).
Le repère (D,C,A) est un repère orthonormé.
2)
Il faut projeter M sur l'axer [DC) pour avoir son abscisse et sur l'axe [DA) pour avoir son ordonnée . OK ?
M(x;1)
R(1;1-x)
S(0;x)
3)
MS²=(xS-xM)²+(yS-yM)² : OK ? Tu sais ça ?
MS²=(0-x)²+(x-1)²
MS²=x²+x²-2x+1
MS²=2x²-2x+1
MS=√(2x²-2x+1)
MR²=(1-x)²+(1-x-1)²
MR²=1-2x+x²+x²
MR²=2x²-2x+1
MR=√(2x²-2x-1)
RS²=(0-1)²+[x-(1-x)]²
RS²=1²+(2x-1)²
RS²=1+4x²-4x+1
RS²=4x²-4x+2
RS=√(4x²-4x+2)
4)
Calculons :
MR²+MS²=2x²-2x+1+2x²-2x+1
MR²+MS²=4x²-4x+2
Donc :
RS²=MR²+MS²
Ce qui prouve d'après la réciproque du th. de Pythagore que le triangle MRS est rectangle en M.
5)
Donc :
(MS) ⊥ (MR)
