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résolu

Bonjour , j'aurai besoin d'un peu d'aide pour la première question de cet exercice :
Voici l'énoncé :

On utilise la propriété suivante :

Soit p un nombre entier naturel.

Si p² est pair , alors p est pair.

Pour démontrer que Racine carée de 2 n'est pas un nombre rationnel ,on utilise un raisonnement par l'absurde. Supposons que Racine carée de 2 est un nombre rationnel.
Il existe alors deux nombres entiers positifs p et q tels que Racine carée de 2 = p sur q , la fraction p sur q étant irréductible.
Les nombres p et q sont premiers entre eux.

1) Démontrer que p² = 2q²
2) En déduire que p est pair. On note alors p=2p1 , où p1 est un entier positif. ( Le 1 est un symbole pour différencier.)
3) En déduire que q² est pair , puis que le nombre q est pair.
4) Que peut-on alors déduire pour la fraction p sur q ?
5) Conclure.

Merci d'avance

Répondre :

Réponse :

1) démontrer que p² = 2 q²

on suppose que √2 est rationnel  ⇔ √2 = p/q   ⇔ (√2)² = (p/q)²

⇔ 2 = p²/q²  ⇔ p² = 2 q²      p et q des entiers positifs

2) en déduire que p est pair

puisque p² est pair  alors on en déduit que p est pair

3) en déduire que q² est pair

  p² = 2q²  ⇔ q² = p²/2  ⇔ q² = (2 p1)²/2 = 2 p²1    donc  q² est pair

puisque q² est pair  alors  q est pair

4)  p/q = 2 q/2 p1   est  une fraction non irréductible

5) conclure

d'après l'hypothèse de départ  p/q est irréductible  c'est à dire que p et q

sont premiers entre eux donc ils ne peuvent pas être pairs simultanément, on abouti donc à une contradiction

donc √2 n'est pas un rationnel;  il est donc irrationnel

Explications étape par étape :

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