Bonjour :))
[tex]P(x)\ est\ de\ la\ forme\ ax^{2}+bx+c\\\\P(x+1)-P(x)=[a(x+1)^{2}+b(x+1)+c]-[ax^{2}+bx+c]\\P(x+1)-P(x)=a(x^{2}+2x+1)+bx+b+c-ax^{2}-bx-c\\P(x+1)-P(x)=2ax+a+b\\\\On\ veut\ que\ P(x+1)-P(x)=x\\Donc\ cela\ revient\ \`a\ dire\ que\ 2ax+a+b=x\\\begin{cases}2a=1\\a+b=0\end{cases}\\\\\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}\\\\[/tex]
[tex]P(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x\ \ \ \ \ \forall x\in\mathbb R[/tex]
[tex]R\'esonnement\ par\ r\'ecurrence\\\\Initialisation:\ v\'erifions\ au\ rang\ n=1\\P(1+1)-P(1)=P(2)-P(1)\\\\\Leftrightarrow \frac{1}{2}(2)^{2}-\frac{1}{2}(2)-(\frac{1}{2}(1)^{2}-\frac{1}{2}(1)) \\\\\Leftrightarrow \frac{1}{2}(2)^{2}-\frac{1}{2}(2) - 0\\\\\Leftrightarrow 2-1=1\\\\La\ propri\'et\'e\ est\ vraie\ au\ rang\ n=1\\\\H\'er\'edit\'e:\ supposons\ que\ \forall\ n\in\mathbb N\ la\ propri\'et\'e\\ 1+2+...+n=P(n+1)-P(1)\ est\ vraie,\ montrons\ alors\ que\\P((n+1)+1)-P(1)=1+2+...+n+(n+1)\\[/tex]
[tex]1+2+...+n+(n+1)=P(n+1)-P(1)+(n+1)\\\\P(1)=0\\\\Donc\ P(n+1)+(n+1)=\frac{1}{2}(n+1)^{2}-\frac{1}{2}(n+1)+(n+1)\\\\\frac{1}{2}n^{2}+n+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}+n+1\\\\\boxed{\frac{1}{2}n^{2}+\frac{3}{2}n+1}\\\\V\'erifions\ maintenant\ ce\ que\ vaut\ P(n+2)-P(1)\\\\Rappel:P(1)=0\\\\P(n+2)=\frac{1}{2}(n+2)^{2}-\frac{1}{2}(n+2)\\\\\frac{1}{2}n^{2}+2n+2-\frac{1}{2}n-1\\\\\boxed{\frac{1}{2}n^{2}+\frac{3}{2}n+1}[/tex]
[tex]Conclusion:\ la\ propri\'et\'e\ est\ vraie\ au\ rang\ n=1\ et\ elle\ est\ h\'er\'editaire\\\forall\ n\in\mathbb N\ \ \ 1+2+...+n=P(n+1)-P(1)[/tex]
[tex]P(n+1)-P(1)=\frac{1}{2}(n+1)^{2}-\frac{1}{2}(n+1)-0\\\\P(n+1)-P(1)=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}\\\\On\ peut\ dire\ aussi\ que \frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}\\\\Donc\ \forall\ n \in\mathbb N\ \ \ \ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
[tex]On\ souhaite\ calculer\ 1+2+...+2015=?\\\\S_{2015}=\frac{2015(2015+1)}{2} = \boxed{2\ 031\ 120}[/tex]
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Bonne continuation :))
