Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Le préambule : tu peux le faire seul(e).
a/b : fraction irréductible ==>a et b sont premiers entre eux OU ils n'ont pas de diviseurs communs , excepté 1.
1)
Tu as mal recopié l'énoncé !! Je suppose que c'est :
Supposons que :
√2=a/b avec a/b qui est une fraction irréductible.
Chaque membre est positif : on peut donc élever au carré :
(√2)²=(a/b)²
2=a²/b²
a²=2b²
2)
2b² est pair donc a² qui lui est égal est obligatoirement pair.
Montrons que si a² est pair , alors a est pair (avec a > 1) :
Prenons "a" impair . Il peut alors s'écrire :
a=2n+1 qui est bien impair.
a²=(2n+1)²=4n²+4n+1=4(n+1)+1
4(n+1) est multiple de 4 donc est pair , ce qui fait que 4(n+1)+1 qui est le nombre suivant est impair.
Donc :
Si a est impair, alors a² est obligatoirement impair.
Prenons "a" pair . Il peut alors s'écrire :
a=2n
a²=4n² qui est pair.
Conclusion :
Si a² est pair , alors "a" est pair.
3)
Posons :
a=2c
a²=2b² devient :
(2c)²=2b²
4c²=2b²
b²=4c²/2
b²=2c²
4)
2c² est pair donc b² qui lui est égal est aussi pair.
5)
On a donc "a " qui est pair et "b" qui est aussi pair.
Donc "a" et "b" sont divisibles par 2 et la fraction a/b n'est pas irréductible.
Donc √2 ne peut pas s'écrire sous la forme a/b.
Et √2 est donc un nb irrationnel.
