Réponse :
1) démontrer que 2q² = p²
√2 = p/q avec p et q deux entiers relatifs
(√2)² = (p/q)² ⇔ 2 = p²/q² ⇔ p² = 2 q²
on en déduit que p² est pair
2) démontrer que p est pair
p² est pair ⇒ p est pair
pour le démontrer on utilise la contraposée
p pas pair ⇒ p² pas pair autrement
p impair ⇒ p² impair
p impair ⇔ p = 2 k + 1 avec k ∈ Z ⇒ p² = (2 k + 1)²
= 4 k² + 4 k + 1
= 2(2 k² + 2 k) + 1 k' = 2k²+ 2k
= 2 k' + 1
donc p² est impair
donc p² pair ⇒ p pair
3) p étant pair, p peut s'écrire p = 2 p'
que peut -on en déduire pour la parité de q
q² = p²/2 ⇔ q² = 4 p'²/2 ⇔ q² = 2 p'² on en déduit que q² est pair ⇒ q est pair
que peut-on dire de la fraction p/q n'est pas irréductible
or par hypothèse p/q est irréductible c'est à dire p et q sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent pas être pairs simultanément; on abouti à une contradiction
donc √2 n'est pas rationnel
et donc √2 est un irrationnel
Explications étape par étape :
