Réponse :
Explications étape par étape :
1 a. [tex]\phi^2-\phi\,-1=\frac{1+2\sqrt{5}+5} {4} -\frac{1+\sqrt{5}} {2}-1[/tex]
[tex]\phi^2-\phi\,-1=\frac{3+ \sqrt{5}}{2} -\frac{1+\sqrt{5}} {2}-1[/tex]
[tex]\phi^2-\phi\,-1=0[/tex]
donc [tex]\phi[/tex] est un antécédent de 0 par f
idem pour [tex]\psi[/tex]
1 b. f est un polynôme du second degré ayant pour racines [tex]\phi[/tex] et [tex]\psi[/tex] donc
[tex]f(x)=(x-\phi)(x-\psi)[/tex]
1 c.[tex](x-0,5)^2-1,25=x^2-x+0,25-1,25=x^2-x-1=f(x)[/tex]
1 d. f est croissante sur [0,5 ; + ∞ [ et décroissante sur ] - ∞ ; 0,5]
2. [tex]1-\phi= 1-\frac{1+\sqrt{5}} {2}= \frac{2-1-\sqrt{5}} {2}=\psi[/tex]
[tex]\phi^2-\phi\,-1=0[/tex] donc [tex]\frac{\phi^2-\phi-1}{\phi}=0[/tex] donc [tex]\phi-1-\frac{1}{ \phi}=0[/tex] soit [tex]\phi= 1+\frac{1}{ \phi}[/tex]
