Réponse :
Pour chacune des suites ci-dessous, déterminer le sens de variation en calculant la différence Un+1 - Un
1) (Un) est définie sur N par Un = 2 n² - n + 1
Un+1 = 2(n+1)² - (n+1) + 1
= 2(n² + 2 n + 1) - n - 1 + 1
= 2 n² + 4 n + 2 - n - 1 + 1
Un+1 = 2 n² + 3 n + 2
Un+1 - Un = 2 n² + 3 n + 2 - (2 n² - n + 1)
= 2 n² + 3 n + 2 - 2 n² + n - 1
Un+1 - Un = 4 n + 1 puisque n ≥ 0 ⇔ 4 n ≥ 0 ⇔ 4 n + 1 ≥ 1 ≥ 0
donc Un+1 - Un ≥ 0 ⇒ la suite (Un) est croissante sur N
2) (Un) est définie sur N par Un = 1/(2 n + 1)
Un+1 = 1/(2(n+1) + 1) = 1/(2 n + 3)
Un+1 - Un = 1/(2 n + 3) - 1/(2 n + 1)
= (2 n + 1)/(2 n + 3)(2 n + 1) - (2 n + 3)/(2 n + 3)(2 n + 1)
= (2 n + 1 - 2 n - 3)/(2 n + 3)(2 n + 1)
= - 2/(2 n + 3)(2 n + 1)
or n ≥ 0 ⇔ 2 n ≥ ⇔ 2 n + 3 ≥ 3 ≥ 0
n ≥ 0 ⇔ 2 n ≥ 0 ⇔ 2 n + 1 ≥ 1 ≥ 0
donc (2 n + 3)(2 n + 1) > 0 et - 2 < 0
donc - 2/(2 n + 3)(2 n + 1) ≤ 0 ⇒ Un+1 - Un ≤ 0 ⇒ (Un) est décroissante sur N
3) (Un) est définie sur N par U0 = 1 et Un+1 = Un + 2 n + 3
Un+1 - Un = Un + 2 n + 3 - Un = 2 n + 3
n ≥ 0 ⇔ 2 n ≥ 0 ⇔ 2 n + 3 ≥ 3 ≥ 0 donc Un+1 - Un ≥ 0
(Un) est croissante sur N
4) (Un) est définie sur N par U0 = 2 et Un+1 = Un - √(U²n + 3)
Un+1 - Un = Un - √(U²n + 3) - Un = - √(U²n + 3) or √(U²n + 3) ≥ 0
et - √(U²n + 3) ≤ 0 donc Un+1 - Un ≤ 0 ⇒ (Un) est décroissante sur N
Explications étape par étape :