Réponse :
Un = 4/5√(n+7)
A partir de quel rang n, on a:
0 < Un ≤ 10⁻³ ; Un > 0 car Un est à termes positifs
4/5√(n+7) ≤ 10⁻³ ⇔ 4/5√(n+7) ≤ 1/10³ ⇔ 4 x 10³ ≤ 5√(n+7) (on a multiplié par des nombres positifs)
⇔ 5√(n+7) ≥ 4 x 10³ ⇔ √(n+7) ≥ 4 x 10³/5 ⇔ √(n+7) ≥ 40 x 10²/5
⇔ √(n+7) ≥ 8 x 10² ⇔ (√(n+7))² ≥ (8 x 10²)² ⇔ n + 7 ≥ 64 x 10⁴
⇔ n ≥ 64 x 10⁴ - 7 ⇔ n ≥ 639993
Explications étape par étape :
Bonjour
[tex]On ~a ~u_n~~toujours ~positive.\\ on~ cherche ~le ~rang~n~a\\ ~partir~ duquel ~u_n \leq 10^{-3} \\ soit \\\\\frac{4}{5\sqrt{n+7}} \leq 10^{-3} \\ \\\text{ la fonction inverse \'etant d\'ecroissante sur } ]0,+\infty[ ~on ~a~alors\frac{5\sqrt{n+7}}{4} \leq 10^{3} //\\[/tex]
Il faut corrigé ci-dessus [tex]\geq[/tex] au lieu de [tex]\leq[/tex] j'arrive pas à le corrigé avec l'éditeur d'équation
la fonction carrée étant croissante sur ]0,+\infty[
[tex]5\sqrt{n+7} \geq 4\times 10^3 \\\\\sqrt{n+7} \geq \frac{4\times 10^3}{5} \iff n+7 \geq (\frac{4\times 10^3}{5})^2\\\iif n \geq (\frac{4\times 10^3}{5})^2-7 \iff n\geq 639993[/tex]