Réponse :
f(x) = (x² + x + 4)/(x - 3) définie sur R - {3}
1) déterminer la limite de f en + ∞
lim f(x) = ∞/∞ F.I
x → + ∞
pour lever l'indétermination on écrit f(x) sous la forme suivante :
f(x) = x²(1 + 1/x + 4/x²)/x(1 - 3/x)
= x(1 + 1/x + 4/x²)/(1 - 3/x)
lim 1/x = 0 ; lim 4/x² = 0 par addition lim(1 + 1/x + 4/x²) = 1
x→ + ∞ x→ + ∞ x→ + ∞
lim 3/x = 0 ; lim 1 = 1 donc par addition lim(1 - 3/x) = 1
x→ + ∞ x→ + ∞ x→ + ∞
par quotient lim(1 + 1/x + 1/x²)/(1 - 3/x) = 1
x→ + ∞
lim x = + ∞ par produit lim x(1+1/x+4/x²)/(1- 3/x²) = + ∞
x→ + ∞ x→ + ∞
2) cette limite permet-elle de connaitre une asymptote à Cf
la réponse est non
3) déterminer de même la limite de f lorsque x tend vers 3, en restant inférieur à 3
lim f(x) = lim (x² + x + 4)/(x - 3) = - ∞
x→ 3 x→ 3
x < 3 x < 3
lim(x² + x + 4) = 16 et lim (x - 3) = 0⁻
x→3 x→ 3
x < 3 x < 0
par quotient lim f(x) = - ∞
x→ 3
x < 3
4) cette limite donne-t-elle une asymptote à Cf ?
la réponse est oui et l'équation de cette asymptote est x = 3 (asymptote verticale)
5) justifier que pour x ≠ 3 f '(x) = (x² - 6 x - 7)/(x-3)²
f(x) = (x² + x + 4)/(x - 3)
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/u²
u(x) = x² + x + 4 ⇒ u'(x) = 2 x + 1
v(x) = x - 3 ⇒ v'(x) = 1
f '(x) = [(2 x + 1)(x - 3) - (x² + x + 4)]/(x-3)²
= (2 x² - 5 x - 3 - x² - x - 4)/(x - 3)²
= (x² - 6 x - 7)/(x - 3)²
en déduire le tableau de variation de la fonction f sur [- 7 ; 19]
f '(x) = 0 ⇔ x² - 6 x - 7 = 0
Δ = 36 + 28 = 64
x1 = 6+8)/2 = 7 ⇒ f(7) = (7²+7+4)/(7-3) = 15
x2 = 6 - 8)/2 = - 1 ⇒ f(-1) = ((-1)² - 1 + 4)/-4 = - 1
x - 7 - 1 3 7 19
f(x) - 4.6 →→→→→→→→→→- 1→→→→→→→→ - ∞ ||+∞→→→→→15→→→→→→ 24
croissante décroissante décroissante croissante
6) Montrer que sur [0 ; 3[ l'équation f(x) = - 5
admet une seule solution x0
* sur l'intervalle [0 ; 3[ f(x) est dérivable donc continue
* sur [0 ; 3[ la fonction f est décroissante
* lim f(x) = - 7/9 et lim f(x) = - ∞
x→0 x→ 3⁻
donc la fonction f sur [0 ; 3[ admet une seule solution x0
Explications étape par étape :