Réponse :
1) déterminer g '(2) par lecture graphique
g '(2) = a coefficient directeur de la tangente
or a = (- 2 - 1)/(3 - 2) = - 3 donc g '(2) = - 3
2) calculer g '(x) puis en déduire g '(2)
la fonction g est dérivable sur I est sa dérivée g ' est
g'(x) = (u:v)' = (u'v - vu)/v²
u(x) = - x² + 2 x + 1 ⇒ u'(x) = - 2 x + 2
v(x) = x - 1 ⇒ v'(x) = 1
donc g'(x) = [(- 2 x + 2)(x - 1) - (- x² + 2 x + 1)]/(x - 1)²
= (- 2 x² + 4 x - 2 + x² - 2 x - 1)/(x - 1)²
g'(x) = (- x² + 2 x - 3)/(x - 1)²
g'(2) = (- 2² + 2*2 - 3)/(2-1)²
g'(2) = - 4 + 4 - 3 donc g'(2) = - 3
on trouve le même résultat que celui de la question 1 donc il y a cohérence
3) tu peux faire seule cette question
4) a) vérifier que pour tout x ∈ I g(x) = - x + 1 + 2/(x - 1)
- x + 1 + 2/(x - 1) = - x(x - 1)/(x-1) + (x-1)/(x-1) + 2/(x - 1)
= (- x(x - 1) + x - 1 + 2)/(x- 1)
= (- x² + x + x + 1)/(x-1)
= (- x² + 2 x + 1)/(x-1)
= g(x)
b) calculer g '(x) en utilisant cette expression
g'(x) = - 1 + 0 - 2/(x - 1)² donc g '(x) = - 1 - 2/(x - 1)²
g'(x) = (- (x - 1)² - 2)/(x - 1)² = (- (x² - 2 x + 1) - 2)/(x - 1)²
= (- x² + 2 x - 3)/(x - 1)²
g'(x) est le même que celui de la Q.2
g'(2) = - 1 - 2/(2-1)² = - 3
g'(2) est le même que celui de la Q.2
donc il y a cohérence des deux résultats de la Q.2 et Q.4
5) a) montrer que T a pour équation réduite - 3 x + 7
y = g(2) + g'(2)(x - 2)
g(2) = (- 2² + 2*2 + 1) = - 4+4+1 = 1
g'(2) = - 3
y = 1 - 3(x - 2) = 1 - 3 x + 6 = - 3 x + 7
b) démontrer que C est au-dessus de T sur I
étudions le signe de : g(x) - y
g(x) - (- 3 x + 7) = (- x² + 2 x + 1)/(x - 1) - (- 3 x + 7)
= (- x² + 2 x + 1)/(x - 1) - (- 3 x + 7)(x - 1)/(x - 1)
= ((- x² + 2 x + 1 - (- 3 x² + 10 x - 7))/(x - 1)
= (- x² + 2 x + 1 + 3 x² - 10 x + 7)/(x - 1)
= (2 x² - 8 x + 8)/(x - 1)
= 2(x² - 4 x + 4)/(x - 1)
= 2(x - 2)²/(x - 1)
or (x - 1) > 0 et (x - 2)² ≥ 0 ; 2 > 0
donc g(x) - y ≥ 0 ⇒ la courbe C est au-dessus de la tangente T
Explications étape par étape :
