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résolu

Bonjour, le problème est: lors d'une compétition de Gymnastique Rythmique et Sportive, une gymnaste lance son ballon, verticalement vers le haut. Elle doit réaliser une roulade avant suivie d'une roulade arrière pendant que le ballon est en l'air et le rattraper juste après.

Quelle hauteur maximale le ballon peut-il atteindre ?

A-t-elle suffisamment le temps de faire sa double roulade ?

Données: lancer initial avec une vitesse de valeur v initiale= 8,0 m.S-1

durée de la double roulade = environ 1,5s

faire d'autres hypothèses qui vous semblent nécessaires si besoin.

Répondre :

LEGRANDU48GO

Réponse :

Explications :

Bonjour,

Système étudié : Ballon, centre de gravité G

Référentiel : terrestre considéré galiléen

Vo a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) :  

Vo x = 0 et Vo z = Vo  

Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (ballon en chute libre) donc : ∑ Forces = P ballon

Seconde loi de Newton :

∑ Forces = P ballon = m * g = m * aG donc  aG = g

Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :

aG x = 0 et aG z = -g

par intégration , on a :

VG x = K1

VG z = -g * t + K2

Où  K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

t = 0, VG x(0) = 0 donc K1 = 0

t = 0, VG z(0) = Vo donc K2 = Vo  

soit : VG x = 0 et VG z = -g * t + Vo

par intégration :

OG x = 0 + K3

OG z = -1/2 * g * t² + Vo * t + K4

Où  K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0

a t = 0, OG z(0) = H (hauteur du lancer)

On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :

OG x = 0 et  

OG z = -1/2 * g * t² + Vo * t + H

Hypothèses :

Vo = 8 m/s

G = 9.81 m/s²

H = hauteur du lancer = hauteur où le ballon quitte la main = hauteur de récupération du ballon = 1 m

1)  Le ballon va monter, atteindre une vitesse nulle puis redescendre :  

On a VG z(t)  = - g * t + Vo  = 0 au bout du temps t = Vo / g  

Soit t montée = 8 / 9.81 = 0.8155 s

2) le ballon va monter a :

OG z = -1/2 * g * t² + Vo * t + H

OG z = -1/2 * 9.81 * (8 / 9.81)² + 8 * 8 / 9.81 + 1 = 1/2 * 8² / 9.81 + 1 = 4.26 m

Soit OG z = 4.26 m par rapport au sol.  ou 3.26 m par rapport à la main

3) le ballon redescend en chute libre a vitesse initiale nulle depuis une hauteur de 1/2 * 8² / 9.81 + 1 = 4.26 m pour arriver a une hauteur de 1 m

soit OG z = -1/2 * g * t² +  (1/2 * 8² / 9.81 + 1)  = 1 donc  1/2 * g * t² = 1/2 * 8² / 9.81

donc t descente = √((8 / 9.81)²)  = 8 / 9.81 = 0.8155 m/s

soit t aller-retour = temps de montée + temps de descente

donc t aller-retour = 0.8155 + 0.8155 = 1.631s

la double roulade dure 1.5 s environ donc a priori la gymnaste a le temps de récupérer le ballon

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