Réponse :
Bonjour, un exercice qui ne présente aucune difficulté si ce n'est les erreurs de calculs d'où la nécessité de travailler avec un repère orthonormé (O; i; j) (OI=OJ=1cm) pour vérifier les calculs.
Explications étape par étape :
1) travaille de préférence sur une feuille petits carreaux (2carreaux=1cm)
Garde de la place pour les ordonnées >0 (yN=+11)
2) MB=(1/3)AC ou BM=(1/3)CA
cordonnées de CA: xCA=xA-xC=-2-4=-6; yCA=yA-yC=2-1=1 vecCA(-6;1)
cordonnées de M
xM=xB+(1/3)*xCA=5-2=3 et yM=yB+(1/3)*yCA=6+1/3=19/3 M(3; 19/3)
3)ABCD est un parallélogramme si vecAD=vecBC
coordonnées de BC: xBC=4-5=-1 et yBC=1-6=-5 vecBC(-1; -5)
Coordonnées de D
xD=xA+xBC= -2-1=-3 et yD=yA+yBC=2-5=-3 D(-3; -3)
4) I milieu de [CD] on applique la d formule
xI=(xC+xD)/2=(4-3)/2=-1/2 et yI=(yC+yD)/2=(1-3)/2=-1 I(-1/2;-1)
5) les points I,M, B sont alignés si les droites (IM) et (IB) ont le même coefficient directeur
pour (IM) a=(yM-yI)/(xM-xI)=(19/3+1)/(3-1/2)=(22/3)*( 2/5)=44/15
pour (IB) a'=(yB-yI)/(xB-xI)=7/(9/2)=14/9
Les coefficients a et a' sont différents les droites ne sont pas // par conséquents les points les points ne sont pas alignés
Nota: on peut aussi démonter que les vecteurs IM et IB ne sont pas colinéaires; les I,M,B ne sont donc pas alignés (ce qui est évident sur le repère)
6) J milieu de [AB] même formule que pour I milieu de [CD]
xJ=(-2+5)/2=3/2; yJ=(2+6)/2=4 J(3/2; 4)
7)ABCD est un parallélogramme donc vecAB=vecDC
J est le milieu de [AB] donc vecJB=vecAB/2
I mileu de [CD] donc vecDI=vecDC/2
de ceci on déduit que vecJB=vecDI et que DJBI est un parallélogramme
par conséquent (DI)//(BI)
Nota: On peut aussi vérifier que vecDJ=vecIB avec les coordonnées des points D, J et I, B (xJ-xD=...; yJ-yD)=.....) et (xB-xI=...; yB-yI=...)
8) vec JN=3vecJM
coordonnées de JM: xJM=3-3/2=3/2 yJM=19/3-4=7/3 vecJM(3/2; 7/3)
coordonnées de N
xN=xJ+3*xJM=3/2++9/2=12/2=6 et yN=yJ+3*yM=4+7=11 N(6; 11)
9)B,C,N sont alignés si vecCN=k*vecCB
vecCN: xCN=xN-xC=6-4=2 et yCN=yN-yC=11-1=10 vecCN(2;10)
vecCB=-vecBC (calculé en question 3) vecCB(1; 5)
On note que vecCN=2vecCB ces deux vecteurs sont colinéaires et comme ils ont un point commun les points C, B ,N sont alignés.
