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résolu

Bonjour, j'aurais vraiment besoin de votre aide pour cet exercice de mathématiques, s'il vous plait.
Une population de gerridés (appelés aussi araignées d'eau) évolue dans un lac.
On modélise le développement de cette population en notant P0=500 le nombre (en milliers) d'individus une semaine fixée, puis pn ce nombre n semaines après le début de l'observation.
Pour tout entier naturel n, Pn+1 = (1+r)Pn + μ où r et μ sont des constantes liées au milieu.
On a évalué P1 = 670 et P2= 874 (en milliers).
1). Déterminer les constantes r et μ
2). Vn est la suite définie sur lN par Vn = Pn+350, démontrer que la suite Vn est géométrique
3). Exprimer Vn, puis Pn en fonction de n. Que peut-on en déduire pour le sens de variation de la suite (Pn) ?

Je vous remercie énormément pour votre aide et pour votre réponse.

Répondre :

Réponse :

1) déterminer les constantes r et µ

 P1 = (1+r)P0 + µ  ⇔  500(1+r) + µ = 670  ⇔ 500 r + µ = 170

 P2 = (1+r)P1 + µ ⇔ 670(1+r) + µ = 874   ⇔    670 r + µ = 204

                                                                       ....................................

                                                                        - 170 r = - 34   ⇔ r = 0.2

500 x 0.2 + µ = 170   ⇔ µ = 170 - 100 =  70

2) démontrer que Vn est géométrique

  Vn+1 = Pn+1 + 350 = 1.2Pn + 70 +350 = 1.2Pn + 420

Vn+1/Vn = (1.2Pn + 420)/(Pn + 350)

              = 1.2(Pn + 350)/(Pn + 350)

              = 1.2

donc  Vn+1 = 1.2Vn   (Vn) est une suite géométrique de raison q = 1.2

3) exprimer  Vn puis Pn en fonction de n

      V0 = P0 + 350 = 500+350 = 850

      Vn = 850 x 1.2ⁿ

       Vn = Pn + 350  ⇔ Pn = Vn - 350  ⇔ Pn = 850 x 1.2ⁿ - 350

Explications étape par étape :

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