Réponse :
Bonjour
1) Une équation de la tangente à C au point d'abscisse a est donnée par la formule :
Tₐ : y = f'(a)(x - a) + f(x)
Ici f'(a) = -1/a² et f(a) = 1/a
Donc Tₐ : y = -1/a² (x - a) + 1/a
y = -x/a² + 2/a
2) B appartient à l'axe des ordonnées, il a donc pour abscisse 0 .
De plus ,il appartient à Tₐ , donc ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente.
Donc y = -0/a² + 2/a = 2/a
Donc B(0 ; 2/a)
C appartient à l'axe des abscisses, il a donc 0 pour ordonnée.
De plus, il appartient à Tₐ , donc ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente.
Donc y = -x/a² + 2/a ⇔ -x/a² + 2/a = 0
⇔ -x/a² = -2/a
⇔-x = -2a²/a
⇔ -x = -2a
⇔ x = 2a
Donc C(2a ; 0)
3) A appartient à la courbe C , donc ses coordonnées sont (a ; 1/a)
Calculons les coordonnées du milieu de [BC] , avec B(0 ; 2/a) et C(2a ; 0)
x = (0 + 2a)/2 = 2a/2 = a
y = (2/a + 0)/2 = 1/a
Les coordonnées du milieu de [BC] sont donc (a ; 1/a). Ce sont les coordonnées du point A, donc A est bien le milieu de [BC]
Bonus : voir pièce jointe
