Réponse :
C(x) = 0.005 x² - 0.5 x + 49.5 avec 0 ≤ x ≤ 400
1) justifier que B(x) = - 0.005 x² + 1.8 x - 49.5
on sait que B(x) = R(x) - C(x)
donc B(x) = 1.3 x - (0.005 x² - 0.5 x + 49.5)
= 1.3 x - 0.005 x² + 0.5 x - 49.5
= - 0.005 x² + 1.8 x - 49.5
2) vérifier que 30 est une racine du polynôme B
B(30) = - 0.005 * 30² + 1.8*30 - 49.5 = - 4.5 + 54 - 49.5 = - 54+54 = 0
donc 30 est bien une racine de B
3) factoriser B(x) = - 0.005 x² + 1.8 x - 49.5
B(x) = - 0.005(x - 30)(x - x2)
= - 0.005(x² - x2 x - 30 x + 30 x2)
= - 0.005(x² - (x2 - 30) x + 30 x2
= - 0.005 x² + 0.005(x2 - 30) x - 0.15 x2
0.005 x2 + 0.15 = 1.8 ⇔ 0.005 x2 = 1.65 ⇔ x2 = 1.65/0.005 = 330
- 0.15*330 = 49.5
donc B(x) = - 0.005(x - 30)(x - 330)
4) dresser le tableau de signe de B
x 0 30 330 400
- 0.005 - - -
x - 30 - 0 + +
x - 330 - - 0 +
B(x) - 0 + 0 -
5) pour des volumes de ventes compris entre ]30 ; 330[ ; les élèves réalisent un bénéfice B positif
Explications étape par étape :
Bonsoir,
1) On a :
[tex]C(x)=0.005x^{2} -0.5x+49.5[/tex] et [tex]R(x)=1.3x[/tex]
Donc :
[tex]B(x)=R(x)-C(x)[/tex]
[tex]B(x)=1.3x-(0.005x^{2} -0.5x+49.5)\\B(x)=1.3x-0.005x^{2} +0.5x-49.5\\B(x)=-0.005x^{2} +1.8x-49.5[/tex]
2) [tex]B(x)=-0.005x^{2} +1.8x-49.5[/tex]
Or, Δ [tex]=1.8^{2}-4*(-0.005)*(-49.5)=2.25[/tex]
Comme Δ = 2.25 > 0, la fonction [tex]B[/tex] admet deux racines distinctes :
[tex]x_{1}=\frac{-1.8-\sqrt{2.25} }{-0.01}=\frac{-1.8-1.5}{-0.01}=\frac{3.3}{0.01}=330\\\\x_{2}= \frac{-1.8+\sqrt{2.25} }{-0.01}=\frac{-1.8+1.5}{-0.01}=\frac{0.3}{0.01}=30\\[/tex]
Ainsi, 30 est bien une racine du polynôme [tex]B[/tex].
3) [tex]B(x)=-0.005x^{2} +1.8x-49.5[/tex]
Comme Δ = 2.25 > 0, la fonction [tex]B[/tex] se factorise par :
[tex]B(x)=-0.005x^{2} (x-x_{1})(x-x_{2})\\[/tex]
avec
[tex]x_{1}=330\\\\x_{2}= 30\\[/tex]
D'où [tex]B(x)=-0.005x^{2} (x-330)(x-30)[/tex]
4) D'où le tableau de signe de [tex]B[/tex] :
Valeurs de [tex]x[/tex] 0 30 330 400
Signe de [tex]-0.005x^{2}[/tex] - - -
Signe de [tex]x-330[/tex] - - 0 +
Signe de [tex]x-30[/tex] - 0 + +
Signe de [tex]B(x)[/tex] - 0 + 0 -
5) On en conclut que l'entreprise réalise un bénéfice positif lorsque le nombre de journaux vendus est compris entre 30 (non inclus) et 300 (non inclus) journaux.
En espérant t'avoir aidé(e).
