Réponse : Bonsoir,
1)a) On appelle H le pied de la hauteur issue de B.
Alors dans le triangle BHA rectangle en H:
[tex]\sin(\widehat{BAC})=\frac{BH}{AB}[/tex]
De ceci, on déduit que la hauteur BH vaut:
[tex]BH=AB \times \sin(\widehat{BAC})[/tex]
Donc l'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] du triangle ABC vaut:
[tex]\mathcal{A}=\frac{c \times \sin(\widehat{BAC}) \times b}{2}=\frac{1}{2}bc\sin(\widehat{BAC})[/tex]
b) Soit G la hauteur issue de A.
Dans le triangle AGC rectangle en G:
[tex]\sin(\widehat{ACB})=\frac{AG}{AC}\\ AG=AC \times \sin(\widehat{ACB})=b \times \sin(\widehat{ACB})[/tex].
Donc une autre expression de [tex]\mathcal{A}[/tex] est:
[tex]\mathcal{A}=\frac{AG \times BC}{2}=\frac{b \times \sin(\widehat{ACB}) \times a}{2}=\frac{1}{2}ab \sin(\widehat{ACB})[/tex]
Enfin, on note I la hauteur issue de C.
Dans le triangle CIB rectangle en I, on a:
[tex]\sin(\widehat{ABC})=\frac{CI}{CB}\\CI=CB \times \sin(\widehat{ABC})=a \times \sin(\widehat{ABC})[/tex].
Donc, une troisième version de [tex]\mathcal{A}[/tex] est:
[tex]\mathcal{A}=\frac{CI \times AB}{2}=\frac{a \times \sin(\widehat{ABC}) \times c}{2}=\frac{1}{2}ac\sin(\widehat{ABC})[/tex]
c) D'après ce qui précède, on a:
[tex]\frac{1}{2}bc\sin(\widehat{BAC})=\frac{1}{2}ab\sin(\widehat{ACB})=\frac{1}{2}ac\sin(\widehat{ABC})\\ \Leftrightarrow bc\sin(\widehat{BAC})=ab\sin(\widehat{ACB})=ac\sin(\widehat{ABC})\\ bc\sin(\widehat{BAC})=ab\sin(\widehat{ACB}) \Leftrightarrow c\sin(\widehat{BAC})=a\sin(\widehat{ACB}) \Leftrightarrow \sin(\widehat{BAC})=\frac{a}{c}\sin(\widehat{ACB}) \\ab\sin(\widehat{ACB})=ac\sin(\widehat{ABC}) \Leftrightarrow b \sin(\widehat{ACB})=c\sin(\widehat{ABC})[/tex]
En utilisant [tex]\sin(\widehat{BAC})=\frac{a}{c}\sin(\widehat{ACB})[/tex] :
[tex]\frac{a}{\sin(\widehat{BAC})}=a \times \frac{c}{a} \times \frac{1}{\sin(\widehat{ACB})}=\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})}[/tex]
En utilisant [tex]b\sin(\widehat{ACB})=c\sin(\widehat{ABC})[/tex]:
[tex]\sin(\widehat{ACB})=\frac{c}{b}\sin(\widehat{ABC})\\\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})}=c \times \frac{b}{c} \times \frac{1}{\sin(\widehat{ABC})}=\frac{b}{\sin(\widehat{ABC})}[/tex]
On en déduit donc que:
[tex]\frac{a}{\sin(\widehat{BAC})}=\frac{b}{\sin(\widehat{ABC})}=\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})}[/tex]
2) On calcule d'abord le périmètre du triangle qui est égal à a+b+c.
On connait a=12, il nous faut donc calculer b et c.
Calculons d'abord la valeur exacte de b:
[tex]\frac{a}{\sin(\widehat{BAC})}=\frac{b}{\sin(\widehat{ABC})}\\b \times \sin(\widehat{BAC})=a \times \sin(\widehat{ABC})\\b=\frac{a \times \sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{BAC})}=\frac{a \times \sin(32)}{\sin(40)}[/tex]
Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, alors on en déduit que:
[tex]\widehat{ACB}=180-40-32=140-32=108\°[/tex]
On est en mesure de calculer c:
[tex]\frac{b}{\sin(\widehat{ABC})}=\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})}\\c \times \sin(\widehat{ABC})=b \times \sin(\widehat{ACB})\\c=\frac{b \times \sin(\widehat{ACB})}{\sin(\widehat{ABC})}=\frac{b \times \sin(108)}{\sin(32)}[/tex]
Donc le périmètre [tex]\mathcal{P}[/tex] du triangle ABC est égal à:
[tex]\mathcal{P}=a+b+c=12+\frac{a \sin(32)}{\sin(40)}+\frac{b\sin(108)}{\sin(32)}=12+\frac{12\sin(32)}{\sin(40)}+\frac{\frac{12\sin(32)}{\sin(40)}\sin(108)}{\sin(32)}=12+\frac{12\sin(32)}{\sin(40)}+\frac{12\sin(32)\sin(108)}{\sin(40)}\times \frac{1}{\sin(32)}=12+\frac{12\sin(32)}{\sin(40)}+\frac{12\sin(108)}{\sin(40)}\\=\frac{12\sin(40)+12\sin(32)+12\sin(108)}{\sin(40)}=\frac{12(\sin(40)+\sin(32)+\sin(108))}{\sin(40)} \approx 39,6 \; cm[/tex]
Enfin, l'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] du triangle ABC dans ce cas est, en prenant par exemple la version [tex]\mathcal{A}=\frac{1}{2}ac\sin(\widehat{ABC})=\frac{1}{2} \times 12 \times \frac{12\sin(108)}{\sin(40)} \times \sin(32)=\frac{72\sin(108)\sin(32)}{\sin(40)} \approx 56,5 \; cm^{2}[/tex]