Réponse : Bonjour,
1)a) On a:
i) Coordonnées du point E.
[tex]\overrightarrow{BE}=\frac{1}{8}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\frac{1}{8}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AE}=\frac{1}{8}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}=\frac{1}{8}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=\frac{9}{8}\overrightarrow{AB}[/tex].
Donc les coordonnées de E sont [tex]E(\frac{9}{8};0)[/tex].
ii) Coordonnées du point F.
[tex]\overrightarrow{CF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}\\\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})\\\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}[/tex].
Donc les coordonnées du point F sont [tex]F(\frac{3}{4};\frac{1}{4})[/tex]
iii) Coordonnées du point G.
[tex]\overrightarrow{CG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}\\\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}\\ \overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CA}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}[/tex].
Donc les coordonnées du point G sont [tex]G(0;\frac{3}{4})[/tex].
b) On a:
[tex]\overrightarrow{EF}(\frac{3}{4}-\frac{9}{8};\frac{1}{4}-0)\\\overrightarrow{EF}(-\frac{3}{8};\frac{1}{4})\\\\ \overrightarrow{FG}(0-\frac{3}{4};\frac{3}{4}-\frac{1}{4})\\ \overrightarrow{FG}(-\frac{3}{4};\frac{1}{2})[/tex]
Les points E, F et G sont alignés si et seulement si les vecteurs [tex]\overrightarrow{EF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{FG}[/tex] sont colinéaires.
Donc si le produit suivant est nul:
[tex]-\frac{3}{8} \times \frac{1}{2}-(-\frac{3}{4} \times \frac{1}{4})=-\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=0[/tex]
Le produit est nul, donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{EF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{FG}[/tex] sont colinéaires et par suite, les points E, F et G sont alignés.
2) K est sur l'axe des abscisses, donc son ordonnée est nulle, donc [tex]K(x_{K};0)[/tex].
IL nous faut donc trouver [tex]x_{K}[/tex].
Les points J, K et F sont alignés, donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{JK}[/tex] et [tex]\overrightarrow{KF}[/tex] sont colinéaires.
On a:
[tex]\overrightarrow{JK}(x_{K}-0;0-(-\frac{1}{4}))\\\overrightarrow{JK}(x_{K};\frac{1}{4})\\\\ \overrightarrow{KF}(\frac{3}{4}-x_{K};\frac{1}{4}-0)\\ \overrightarrow{KF}(\frac{3}{4}-x_{K};\frac{1}{4})[/tex]
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{JK}[/tex] et [tex]\overrightarrow{KF}[/tex] sont colinéaires si et seulement si le produit suivant est nul:
[tex]x_{K} \times \frac{1}{4}-((\frac{3}{4}-x_{K}) \times \frac{1}{4})=0\\ \frac{1}{4}x_{K}-\frac{1}{4}(\frac{3}{4}-x_{K})=0\\\frac{1}{4}x_{K}-\frac{3}{16}+\frac{1}{4}x_{K}=0\\\frac{2}{4}x_{K}=\frac{3}{16}\\x_{K}=\frac{3}{16} \times \frac{4}{2}=\frac{3}{8}[/tex]
Donc les coordonnées de K sont [tex]K(\frac{3}{8};0)[/tex].