Réponse :
Explications étape par étape
Exercice 3
Soit C la fonction définie sur [0,30] représentant le coût de production en milliers d'euros avec
[tex]C(x)=0,01 x^{3} -0,135x^{2} +0,6x+15[/tex]
Soit R la fonction définie sur [0,30] représentant la recette obtenue en milliers d'euros pour un coût unitaire de la pièce de 2,7 (k€)
Soit B la fonction définie sur [0,30] représentant le bénéfice obtenu en milliers d'euros
1) Pour x=10
[tex]C(10)=0,01 *10^{3} -0,135*10^{2} +0,6*10+15 =17,5[/tex]
Le coût de production est de 17,5 k€
[tex]R(10)=2,7*10=27[/tex]
La recette est de 27 k€
Et le bénéfice [tex]B(10)=R(10)-C(10)=27-17,5=9,5[/tex]
Soit 9,5 k€
2) a) Pour x pièces on a
[tex]R(x)=2,7x[/tex]
b)
[tex]B(x)=R(x)-C(x)=2,7x-(0,01 x^{3} -0,135x^{2} +0,6x+15)\\B(x)=-0,01 x^{3}+ 0,135x^{2} +2,1x -15[/tex]
B est une fonction dérivable sur [0,30] comme fonctions polynome
[tex]f'(x)=-0,03x^{2} +0,27x+2,1[/tex][tex]= 0,03(-x^{2} +9x+70)[/tex]
f' est du signe de [tex]-x^{2} +9x+70[/tex]
[tex]Delta = 9^{2} +4*70=361>0[/tex]
Il y a 2 racines
[tex]x_{1} =\frac{-9+\sqrt{361} }{-2} = \frac{9-19 }{2 }=-5<0 \\x_{2} =\frac{-9-\sqrt{361} }{-2} =\frac{9+19 }{2} =14[/tex]
f'(x) est donc positive entre les racines
Donc f est croissante sur [0,14] et décroissante sur [14,30]
d) Le bénéfice est maximal pour x=14
On a B(14)=13,42 Soit un bénéfice de 13,42K€
