Bonjour,
C'est encore un exercice sur les racines nième de l'unité.
1.
[tex]z_1=\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}=cos(\pi/4)+isin(\pi/4)=e^{i\dfrac{\pi}{4}} \\ \\z_1^2=e^{i\dfrac{2\pi}{4}}=e^{i\dfrac{\pi}{2}}=i \\ \\z_1^4=i^2=-1\\ \\z_1^6=z_1^2\times z_1^4=-i \\ \\z_1^8=z_1^4\times z_1^4=1[/tex]
[tex]z_1[/tex] est solution de [tex]z^8-1=0[/tex], (c'est pas demandé mais, en fait [tex](z_1^n)_{0\leq n \leq 7}[/tex] sont les racines 8ième de l'unité. )
2.
[tex]\dfrac{1}{z_1}=e^{-i\dfrac{\pi}{4}}=\overline z_1 \\ \\z_1^7=z_1^4\times z_1^2 \times z_1=-1 \times i \times z_1=\dfrac{\sqrt{2}(1-i)}{2}=\overline z_1[/tex]
On pouvait aussi le voir comme ci dessous
[tex]1=z_1^8=z_1\times z_1^7 <=> z_1^7=\dfrac{1}{z_1}=\overline z_1[/tex]
Comme [tex]z_1[/tex] est solution de [tex]x^8-1=0[/tex], équation à coefficients réels, son conjugué est aussi solution donc [tex]z_1^7[/tex] est solution de l'équation.
3. voir le graphe ci dessous
C'est un carré
4.
[tex](x-1)(x-z_4)=(x-1)(x+1)=x^2-1[/tex]
[tex](x-z_2)(x-z_4)=(x-i)(x+i)=x^2-i^2=x^2+1 \\\\x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x-z_4)(x-z_2)(x-z_6)[/tex]
5.
[tex]z_1^4=-1 <=>z_1^4+1=0[/tex]
[tex]z_1^3=z_1^2\times z_1=iz_1 \\ \\(z_1^3)^4=i^4z_1^4=-1 \\ \\(z_1^5)^4=(z_1^4z_1)^4=(-1)^4z_1^4=-1 \\ \\(z_1^7)^4=(\overline z_1)^4=-1[/tex]
6.
c'est un carré
c'est un octogone régulier
7.
[tex]z_3=e^{i3\pi/4}\\ \\\dfrac{1}{z_3}=e^{-3\pi/4}=e^{5\pi/4}=z_5[/tex]
pour tout k
[tex]\dfrac{1}{Z_k}=Z_{8-k}[/tex]
Merci
