Bonjour,
1) La demi-vie de ¹⁵₈O étant justement de 2 min, et par définition de la demi-vie, le nombre de noyaux restant sera égal à la moitié du nombre de noyaux injectés. Soit :
N(t = 2min) = N(t1/2) = N₀/2 = 6,41.10⁹/2 = 3,205.10⁹ noyaux
2) Toutes les 2 min, le nombre de noyaux est divisé par 2 :
Après 2 x 2min, il est divisé par 2² = 4
Après 3 x 2min, il est divisé par 2³ = 8
....
Après n x 2 min, il est divisé par 2ⁿ
On cherche n tel que 2ⁿ ≥ 1000
soit : log(2ⁿ) ≥ log(1000)
⇔ n x log(2) ≥ 3
⇒ n ≥ 3/log(2)
Soit n ≥ 9,96 donc n = 10 et donc après 10 x 2 = 20 min
On peut résoudre plus précisément en appliquant la loi de décroissance radioactive : N(t) = N₀ x exp(-λt) = N₀ x exp(-ln(2)t/t1/2)
On veut N(t) = N₀/1000
⇒ N₀/1000 = N₀ x exp(-ln(2)t/t1/2)
⇔ exp(ln(2)t/t1/2) = 1/1000
⇒ -ln(2)t/t1/2 = -ln(1000)
⇔ t = ln(1000) x t1/2/ln(2) = 9,96... x t1/2
