Réponse :
1) développer (a+b)² *(a+b)
(a+b)² *(a+b) = (a² + 2 ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + 2 a²b + 2 ab² + b²a + b³
(a+b)² *(a+b) = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³
2) démontrer que, pour tout a et b réels, (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³
(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³
3) soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x³
4) calculer T(h) le taux de variation de f entre a et a + h (h ∈ IR*)
T(h) = [f(a + h) - f(a)]/h
= [(a + h)³ - a³]/h
= [(a³ + 3 a²h + 3 ah² + h³) - a³]/h
= (3 a² h + 3 a h² + h³)/h
= h(3 a² + 3 ah + h²)/h
T(h) = 3 a² + 3 ah + h²
5) déterminer la limite de T(h) quand h tend vers 0
lim T(h) = lim(3 a² + 3 ah + h²) = 3 a²
h→0 h→0
6) en déduire que f est dérivable au point a
f est dérivable en a, si :
lim [f(a+x) - f(a)]/(x - a) = lim T(h) = f '(a)
x→a h→0
donc f '(a) = 3 a²
Explications étape par étape
