Réponse :
ex.2 étudier l'ensemble de définition et de dérivabilité puis calculer la dérivée des fonctions suivantes
a) f(x) = (√(x) + 6)(x² - 3 x + 1)
√x est définie pour x > 0 et x² - 3 x + 1 est définie sur R
Donc l'ensemble de définition de f est Df = ]0 ; + ∞[
x² - 3 x + 1 est dérivable sur R et √(x) + 6 est dérivable sur ]0 ; + ∞[
donc f(x) qui est le produit de deux fonction polynômes est dérivable sur ]0 ; + ∞[
f(x) = (√(x) + 6)(x² - 3 x + 1)
f '(x) = (u v)' = u'v + v'u
u = √(x) + 6 ⇒ u' = 1/2√x
v = x² - 3 x + 1 ⇒ v' = 2 x - 3
f '(x) = 1/2√x)(x²-2 x + 1) + (2 x - 3)(√(x) + 6)
= √x/2 x)(x²-2 x + 1) + (2 x - 3)(√(x) + 6)
= x√x/2) - √x + (√x/2 x) + 2 x√x + 12 x - 3√x - 18
= 5 x√x/2 + (√x/2 x) - 4√x + 12 x - 18
= x((5/2)√x + 12) + √x((1/2 x) - 4) - 18
= x((5/2)√x + 12) + √x((1- 8x)/2 x) - 18
b) g(x) = (5 x² - 4 x + 1)/(2 x - 4)
Df = R \ {2} ou Df = ]- ∞ ; 2[U]2 ; + ∞[
5 x² - 4 x + 1 est dérivable sur R
2 x - 4 est dérivable sur Df
donc le quotient de deux fonctions polynômes est dérivable sur Df
donc g(x) est dérivable sur Df
g(x) = (5 x² - 4 x + 1)/(2 x - 4)
g '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u = 5 x² - 4 x + 1 ⇒ u' = 10 x - 4
v = 2 x - 4 ⇒ v' = 2
g '(x) = [(10 x - 4)(2 x - 4) - 2(5 x² - 4 x + 1)]/(2 x - 4)²
= (20 x² - 48 x + 16 - 10 x² + 8 x - 2)/(2 x - 4)²
= (10 x² - 40 x + 14)/(2 x - 4)²
Explications étape par étape