Réponse :
Pour x ≠ 1 :
[tex](\frac{x}{x-1} )^{2} -\frac{5x}{2x-2} +1=0\\\frac{x^2}{{(x-1)}^2} -\frac{5x}{2(x-1)} +1=0\\\frac{2x^2-5x(x-1)+2(x-1)^2}{2(x-1)^2} =0\\\frac{2x^2-5x^2+5x+2x^2-4x+2}{2(x-1)^2}=0\\\frac{-x^2+x+2}{2(x-1)^2} =0\\-x^2+x+2=0\\[/tex]
-1 et 2 sont des racines évidentes.
(On peut toujours calculer le discriminant pour retrouver les deux racines)
S= {-1; 2}
deuxième équation : On développe :
[tex](x^2-x-1)^2-3x^2+3x-1=0\\{[x^2-(x+1)]}^2-3x^2+3x-1=0\\x^4-2x^2(x+1)+(x+1)^2-3x^2+3x-1=0\\x^4-2x^3-2x^2+x^2+2x+1-3x^2+3x-1=0\\x^4-2x^3-4x^2+5x=0\\x(x^3-2x^2-4x+5)=0[/tex]
0 et 1 sont des racines évidentes.
On peut factoriser le polynome de degré 3 par (x-1) et un polynome de degré 2 de la forme (x²+bx+c)
identifions b et c
(x-1)(x²+bx+c)=
x³+bx²+cx-x²-bx-c=
x³+(b-1)x²+(c-b)x-c
Par comparaison on a
b-1 = -2
c-b = -4
-c = 5
d'où
b = -1
c= -5
ainsi
[tex]x(x^3-2x^2-4x+5)=0\\x(x-1)(x^2-x-5)=0[/tex]
x = 0
ou x-1 = 0 <=> x = 1
ou x² - x - 5 = 0
Δ = 21
[tex]x_1=\frac{1+\sqrt{21} }{2}[/tex]
et
[tex]x_2=\frac{1-\sqrt{21} }{2}[/tex]
Les solutions de l'équations sont
S = {[tex]\frac{1-\sqrt{21} }{2}; -1; 0; \frac{1+\sqrt{21} }{2} }[/tex] }
