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résolu

Bonsoir je suis en première, j’aurais besoin d’aide pour cet exercice de maths. Merci d’avance

On considère un carré ABCD, E le milieu de (AB), F celui de [BC] et k le point
d'intersection de (AF) et (DE).
On veut déterminer une valeur approchée de l'angle FAC (en calculant, de deux
façons différentes, le produit scalaire AF AC ), et la distance DK.
a) Expliquer pourquoi ce produit scalaire peut nous permettre de calculer
l'angle FAC.
b) Exprimer le produit scalaire: AF-AC en fonction de la longueur du côté du
carré et du cosinus de l'angle FAC.
a) Exprimer, en utilisant les propriétés de calcul du produit scalaire, le produit
scalaire AF. AC uniquement en fonction de la longueur du côté du carré.
b) En déduire que : cos(FAC) =
V10
c) En déduire une valeur approchée à 0,1° près de la mesure en degré de
l'angle FAC.
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a) Démontrer que les droites (AF) et (DE) sont perpendiculaires.
b) Calculer le produit scalaire : DE DA.
c) En déduire la distance DK.

Répondre :

SVANTGO

Réponse :

Bonjour

1)

a) [tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} = AF\times AC\times cos(\widehat{FAC})[/tex]

Ce produit scalaire fait intervenir l'angle FÂC dans son expression.

b) Soit a la longueur du côté du carré ABCD

Dans ABF rectangle en B on a AF² = AB² + BF², d'après le théorème de Pythagore

d'où AF = √[a² + (a/2)²]

La diagonale d'un carré de coté a mesure a√2

AC = a√2

[tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} = AF\times AC\times cos(\widehat{FAC})\\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} = \sqrt{a^2+(a/2)^2} \times a\sqrt{2} \times cos(\widehat{FAC})\\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} = \frac{a\sqrt{5} }{2} \times a\sqrt{2} \times cos(\widehat{FAC})\\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} = \frac{a^2\sqrt{10} }{2} \times cos(\widehat{FAC})\\[/tex]

2)

a) Grâce à la relation de Chasles on a :

[tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} =(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF} ).(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} )\\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} = AB^2+0+0+BF \times BC\\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} = a^2+\frac{a^2}{2}\\[/tex]

[tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AC} =\frac{3a^2}{2}[/tex]

b) D'après les deux egalités précédentes on en deduit que

[tex]\frac{a^2\sqrt{10} }{2} \times cos(\widehat{FAC})=\frac{3a^2}{2} \\cos(\widehat{FAC})=\frac{3}{\sqrt{10} } \\\\\widehat{FAC} = 18,4^\circ\\[/tex]

3a)

[tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{DE} =(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF} ).(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE} )\\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{DE} =\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{AE}\\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{DE} =0+\frac{a^2}{2} -\frac{a^2}{2}+0\\\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{DE} =0[/tex]

Ainsi les vecteurs sont orthogonaux et les droites (AF) et (DE) sont perpendiculaires.

b)

[tex]\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{DA} =DA \times DA=a^2[/tex]

K est le projeté orthogonal de A sur (DE)

[tex]\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{DA} =DE \times DK=a^2[/tex]

et DE = √[a² + (a/2)²] = a√5 / 2

DK = a²/DE

DK = 2a/√5

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