Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour,
On va faire la démonstration par récurrence:
1. Initialisation
[tex]a > 0 \\P(n):\ (1+a)^n > 1+n*a\\si\ n=0: (1+a)^0 > 1+0*a \ car\ 1+a\ > 1\\[/tex]
2. Hérédité:
On suppose la proposition vrai pour n, et on démontre qu'elle est vraie pour n+1.
[tex]P(n):\ (1+a)^n > 1+n*a\ est\ vraie\\\\(1+a)^{n+1}=(1+a)^n*(1+a)\ >\ (1+n*a)(1+a)\\\\(1+a)^{n+1}\ >\ 1+n*a+a+n*a^2\ or \ n*a^2\ >\ 0\\(1+a)^{n+1}\ >\ 1+n*a+a+n*a^2 \ >\ 1+n*a+a\\(1+a)^{n+1} \ >\ 1+(n+1)*a\\\\P(n+1):\ est\ donc\ vraie.\\[/tex]
