Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Je vais supposer que c'est f(x)=(x-2)².
Donc f(x)=x²-4x+4
1)
Grâce à la calculatrice , on conjecture que :
f(x) est décroissante sur ]-inf;2] et croissante sur [2;+inf[
2)
f(b)=b²-4b+4
f(a)=a²-4a+4
f(b)-f(a)=b²-4b+4-(a²-4a+4)
f(b)-f(a)=b²-a²-4b+4a=b²-a²-4(b-a)
Or : b²-a²=(b+a)(b-a) ===>OK ??
f(b)-f(a)=(b+a)(b-a)-4(b-a)
Tu vois le facteur commun ?
f(b)-f(a)=(b-a)[(b+a)-4]
f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-4)
3)
a)
Tu as oublié des mots !!
On suppose que a < b ≤ 2 . c'est ça ?
Comme a < b , alors (b-a) > 0. ( Car b est plus grand que a ).
b)
b ≤ 2
a < b
Donc a < 2.
On a :
a < 2
b ≤ 2
On ajoute membre à membre , ce qui donne :
a+b < 4
Donc :
a+b-4 < 0
Récapitulons :
Dans f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-4) , le facteur (b-a) est positif et le facteur (a+b-4) est négatif.
Donc leur produit est négatif. OK ? Donc :
f(b)-f(a) < 0
Donc :
f(b) < f(a)
ou :
f(a) > f(b)
c)
Sur ]-inf;2] , on est parti de a < b pour arriver à f(a) > f(b) , ce qui prouve que sur cet intervalle , la fct f(x) est décroissante.
4)
Cette question est incompréhensible !!
Je peux continuer et chercher le sens de variation sur [2;+inf[.
Soient : 2 ≤ a < b
On a toujours :
f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-4)
Comme a < b , le facteur (b-a) > 0.
a ≥ 2 (et b > a donc :)
b > 2
On ajoute membre à membre , ce qui donne :
a+b > 4
Donc :
a+b-4 > 0
Récapitulons :
Dans f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-4) , le facteur (b-a) est positif et le facteur (a+b-4) est positif aussi.
Donc leur produit est positif. OK ? Donc :
f(b)-f(a) > 0
Donc :
f(b) > f(a)
ou
f(a) < f(b)
Sur [2;+inf[ , on est parti de a < b pour arriver à f(a) < f(b) , ce qui prouve que sur cet intervalle , la fct f(x) est croissante.
5)
La fct f(x) admet un minimum pour x=2 qui vaut zéro.
Voir graph.
