Réponse : Bonjour,
1) L'altitude de la pierre quand elle touche le sol est y=0, donc:
[tex]\displaystyle H-\frac{1}{2} g t^{2}=0\\\frac{1}{2} g t^{2}=H\\t^{2}=\frac{H}{\frac{1}{2}g}\\t^{2}=H \times \frac{2}{g}\\t=\sqrt{\frac{2H}{g}}\\t=\sqrt{\frac{2 \times 20}{9,81}}=\sqrt{\frac{40}{9,81}} \approx 2,02 \; s[/tex]
Donc approximativement au bout de 2,02 secondes, la bille touche le sol.
2) La vitesse de la pierre quand elle touche le sol est égale au nombre dérivé de l'altitude, au point [tex]t=\sqrt{\frac{40}{9,81}}[/tex].
On note f(t), la fonction représentant l'altitude en fonction du temps t.
On a donc [tex]f(t)=H-\frac{1}{2} gt^{2}[/tex].
La dérivée f'(t) est:
[tex]\displaystyle f'(t)=-\frac{1}{2} \times g \times 2t=-gt[/tex]
On calcule [tex]f\left(\sqrt{\frac{40}{9,81}}\right)[/tex]:
[tex]f\left(\sqrt{\frac{40}{9,81}}\right)=-9,81 \times \sqrt{\frac{40}{9,81}}=-\sqrt{9,81} \times \sqrt{40}=-\sqrt{392,4}[/tex]
Le nombre dérivé en [tex]t=\sqrt{\frac{40}{9,81}}[/tex], est négatif, ce qui est normal, car l'altitude de la bille décroit au cours du temps, mais la vitesse est une quantité positive, donc la vitesse quand la bille touche le sol, est égale à la valeur absolue de [tex]f\left(\sqrt{\frac{40}{9,81}}\right)[/tex], donc cette vitesse est égale à:
[tex]|-\sqrt{392,4}|=\sqrt{392,4} \approx 19,8 \; m/s[/tex]
Donc la vitesse quand la bille touche le sol est égale à 19,8 m/s.
